Trapez (geometrija)

Trapez
Trapez
	Trapez
Tip	četvorougao
Ivice i temena	4
Površina
Svojstva	konveksan

U Euklidovoj geometriji, trapez je konveksni četvorougao sa najmanje jednim parom paralelnih stranica.^[1]^[2] Paralelne stranice se zovu osnovice trapeza, a druge dve stranice se zovu kraci ili bočne stranice (ako nisu paralelne, onda postoje dva para osnovica). Skalenski trapez je trapez bez ikakvih stranica sa jednakim merama,^[3] za razliku od posebnih slučajeva ispod.

Visina trapeza h je rastojanje između dve paralelne stranice. Zbir uglova na jednom od krakova je 180° tj. α + δ = β + γ = 180°.

Etimologija trapez vs trapezoid[uredi | uredi izvor]

Starogrčki matematičar Euklid definisao je pet tipova četvorougla, od kojih su četiri imala dva skupa paralelnih stranica (poznate kao kvadrat, pravougaonik, romb i romboid), i poslednji koji nije imao dva skupa paralelnih stranica – τραπέζια (trapezia^[5] doslovno „sto“, sam od τετράς (tetrás), „četiri“ + πέζα (péza), „stopalo; kraj, granica, ivica“).^[6]

Dve vrste trapeza je uveo Proklo (412. do 485. godine) u svom komentaru na prvu knjigu Euklidovih elemenata:^[4]^[7]

jedan par paralelnih stranica – trapez (τραπέζιον), podeljen na jednakokrake (jednake noge) i skalene (nejednake) trapeze
nema paralelnih stranica – trapezoid (τραπεζοειδή, trapezoeidé, doslovno nalik trapezu (εἶδος znači „nalikuje“), na isti način kao što kuboidni znači kockasti, a romboidni znači poput romba)

Svi evropski jezici prate Proklovu strukturu^[7]^[8] kao i engleski do kasnog 18. veka, sve dok uticajni matematički rečnik koji je objavio Čarls Haton 1795. nije podržao bez objašnjenja transpoziciju termina. Ova greška je ispravljena na britanskom engleskom oko 1875. godine, ali je zadržana u američkom engleskom do današnjeg dana.^[4]

Tip	Originalna terminologija			Savremena terminologija
	Euklid (Definicija 22)	Proklo (Definicije 30-34, citirajući Posidonija)	Euklid / Proklova definicija	Britanski engleski (i evropski jezici)	Američki engleski
Paralelogram	ῥόμβος (rombovi)		jednakostranični, ali ne pravougli	Romb		Trapezoid (inkluzivno)
Paralelogram	ῥομβοειδὲς (romboidi)		suprotne strane i uglovi jednaki su jedni drugima, ali ne jednakostranični niti pravougli romboid	Romboid (kolokvijalno paralelogram)
Neparallelogram	τραπέζια (trapezija)	τραπέζιον ἰσοσκελὲς (trapezion isoskelés)	Dve paralelne stranice i linija simetrije	Izosilni trapezijum	Izosilni trapezoid
		τραπέζιον σκαληνὸν (trapezion skalinón)	Dve paralelne stranice, bez linije simetrije	Trapezijum	Trapezoid (ekskluzivno)
		τραπέζοειδὲς (trapezoidi)	Nema paralelnih stranica	Trapezoid	Trapezijum

Oblik se često naziva nepravilan četvorougao.^[9]^[10]

Inkluzivna naspram ekskluzivne definicije[uredi | uredi izvor]

Postoje određena neslaganja da li paralelograme, koji imaju dva para paralelnih stranica, treba smatrati trapezoidima. Neki definišu trapez kao četvorougao koji ima samo jedan par paralelnih stranica (ekskluzivna definicija), čime se isključuju paralelogrami.^[11] Drugi^[12] definišu trapez kao četvorougao sa najmanje jednim parom paralelnih stranica (inkluzivna definicija^[13]), čineći paralelogram posebnim tipom trapeza. Poslednja definicija je u skladu sa njenom upotrebom u višoj matematici kao što je kalkulus. Ovaj članak koristi inkluzivnu definiciju i razmatra paralelograme kao posebne slučajeve trapeza. Ovo se zagovara i u taksonomiji četvorouglova.

Posebni slučajevi[uredi | uredi izvor]

Posebni slučajevi trapeza su:

jednakokraki trapez, kod koga su kraci jednaki, takođe i uglovi na osnovici su jednaki
pravougli trapez, kod koga je jedan krak upravan na bazu, tada je taj krak istovremeno i visina
paralelogram, kod koga je i drugi par stranica međusobno paralelan
romb, koji je paralelogram, ali su mu i sve stranice međusobno jednake
pravougaonik, koji je paralelogram, ali su mu i sve susedne stranice međusobno normalne
kvadrat, kome su sve stranice međusobno jednake, a susedne međusobno normalne

Uslov postojanja[uredi | uredi izvor]

Četiri dužine a, c, b, d mogu činiti uzastopne stranice neparalelogramskog trapeza sa a i b paralelnim samo kada^[14]

\displaystyle |d-c|<|b-a|<d+c.

Četvorougao je paralelogram kada je $d-c=b-a=0$ , ali je ekstangencijalni četvorougao (koji nije trapez) kada je $|d-c|=|b-a|\neq 0$ .^[15]^{‍:p. 35}

Karakterizacije[uredi | uredi izvor]

Za dati konveksni četvorougao, sledeća svojstva su ekvivalentna, a svako implicira da je četvorougao trapezoid:

Ima dva susedna ugla koja su suplementarna, odnosno sabiraju do 180 stepeni.
Ugao između stranice i dijagonale jednak je uglu između suprotne strane i iste dijagonale.
Dijagonale seku jedna drugu u međusobno istom odnosu (ovaj odnos je isti kao i između dužina paralelnih stranica).
Dijagonale seku četvorougao na četiri trougla od kojih jedan suprotni par ima jednake površine.^[15]^‍:Prop.5
Proizvod površina dva trougla koje formira jedna dijagonala jednak je proizvodu površina dva trougla koja formira druga dijagonala.^[15]^‍:Thm.6
Površine S i T nekih od dva suprotna trougla među četiri trougla formirana dijagonalama zadovoljavaju jednačinu

{\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},

gde je K površina četvorougla.^[15]^‍:Thm.8

Sredina dve suprotne strane i presek dijagonala su kolinearni.^[15]^‍:Thm.15
Uglovi u četvorouglu ABCD zadovoljavaju $\sin A\sin C=\sin B\sin D.$ ^[15]^{‍:p. 25}
Kosinusi dva susedna ugla su 0, kao i kosinusi druga dva ugla.^[15]^‍:Thm.15
Kotangensi dva susedna ugla su zbir 0, kao i kotangensi druga dva susedna ugla.^[15]^{‍:p. 26}
Jedan bimedijan deli četvorougao na dva četvorougla jednakih površina.^[15]^{‍:p. 26}
Dvostruka dužina bimedijana koja povezuje sredine dve suprotne strane jednaka je zbiru dužina drugih stranica.^[15]^{‍:p. 31}

Pored toga, sledeća svojstva su ekvivalentna i svako implicira da su suprotne strane a i b paralelne:

Uzastopne stranice a, c, b, d i dijagonale p, q zadovoljavaju jednačinu^[15]^‍:Cor.11

p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.

Rastojanje v između sredina dijagonala zadovoljava jednačinu^[15]^‍:Thm.12

v={\frac {|a-b|}{2}}.

Formule[uredi | uredi izvor]

Obim	$O=a+b+c+d\,$
Visina	$h=b\sin {\beta }=d\sin {\alpha }\,$ $h\,=\,{\frac {2}{a-c}}{\sqrt {s(s-(a-c))(s-b)(s-d)}},\;s\,=\,{\frac {a+c+b+d}{2}}$
Površina	$P\,=\,{\frac {a+b}{2}}\cdot h$
Dijagonale	$d_{1}\,=\,{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \beta }}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2\,c\,d\,\cos \delta }}$ $d_{2}\,=\,{\sqrt {a^{2}+d^{2}-2\,a\,d\,\cos \alpha }}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cos \gamma }}$

Jednakokraki trapez[uredi | uredi izvor]

Kod jednakokrakog trapeza važi da je b = d, takođe je α = β odakle sledi δ = γ. Posledica ovoga je da je zbir naspramnih uglova α + γ = β + δ = 180°. Ovo je osobina tetivnih četvorouglova, znači jednakokraki trapez je tetivni četvorougao.

Pravougli trapez[uredi | uredi izvor]

Kod pravouglog trapeza je b ili d jednako h, a takođe važi da je α = δ = 90° ili β = γ = 90°.

Reference[uredi | uredi izvor]

^ „Trapezoid — Math Word Definition”. Math Open Reference. Pristupljeno 9. 9. 2018.
^ A. D. Gardiner & C. J. Bradley, Plane Euclidean Geometry: Theory and Problems, UKMT, 2005, p. 34.
^ „Types of quadrilaterals”. Basic-mathematics.com. Pristupljeno 2018-09-09.
^ ^a ^b ^v James A. H. Murray (1926). A New English Dictionary on Historical Principles: Founded Mainly on the Materials Collected by the Philological Society. X. Clarendon Press at Oxford. str. 286 (Trapezium). „With Euclid (c 300 B.C.) τραπέζιον included all quadrilateral figures except the square, rectangle, rhombus, and rhomboid; into the varieties of trapezia he did not enter. But Proclus, who wrote Commentaries on the First Book of Euclid's Elements A.D. 450, retained the name τραπέζιον only for quadrilaterals having two sides parallel, subdividing these into the τραπέζιον ἰσοσκελὲς, isosceles trapezium, having the two non-parallel sides (and the angles at their bases) equal, and σκαληνὸν τραπέζιον, scalene trapezium, in which these sides and angles are unequal. For quadrilaterals having no sides parallel, Proclus introduced the name τραπέζοειδὲς TRAPEZOID. This nomenclature is retained in all the continental languages, and was universal in England till late in the 18th century, when the application of the terms was transposed, so that the figure which Proclus and modern geometers of other nations call specifically a trapezium (F. trapèze, Ger. trapez, Du. trapezium, It. trapezio) became with most English writers a trapezoid, and the trapezoid of Proclus and other nations a trapezium. This changed sense of trapezoid is given in Hutton's Mathematical Dictionary, 1795, as ‘sometimes’ used -- he does not say by whom; but he himself unfortunately adopted and used it, and his Dictionary was doubtless the chief agent in its diffusion. Some geometers however continued to use the terms in their original senses, and since c 1875 this is the prevalent use.”
^ Euclid Elements Book I Definition 22
^ πέζα is said to be the Doric and Arcadic form of πούς "foot", but recorded only in the sense "instep [of a human foot]", whence the meaning "edge, border". τράπεζα "table" is Homeric. Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, A Greek-English Lexicon, Oxford, Clarendon Press (1940), s.v. πέζα, τράπεζα.
^ ^a ^b Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (5. 4. 2016). The Symmetries of Things. CRC Press. str. 286. ISBN 978-1-4398-6489-0. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ For example: French trapèze, Italian trapezio, Portuguese trapézio, Spanish trapecio, German Trapez, Ukrainian "trapecія", e.g. „Larousse definition for trapézoïde”.
^ Chambers 21st Century Dictionary Trapezoid
^ „1913 American definition of trapezium”. Merriam-Webster Online Dictionary. Pristupljeno 2007-12-10.
^ „American School definition from "math.com"”. Pristupljeno 2008-04-14.
^ Weisstein, Eric W. „Trapezoid”. MathWorld.
^ Trapezoids, [1]. Retrieved 2012-02-24.
^ Ask Dr. Math (2008), "Area of Trapezoid Given Only the Side Lengths".
^ ^a ^b ^v ^g ^d ^đ ^e ^ž ^z ⁱ ^j ^k Martin Josefsson, "Characterizations of trapezoids", Forum Geometricorum, 13 (2013) 23-35.

Literatura[uredi | uredi izvor]

D. Fraivert, A. Sigler and M. Stupel : Common properties of trapezoids and convex quadrilaterals
„Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram”. Mathsisfun.com. Pristupljeno 2020-09-02.
Martin, George Edward (1982), Transformation geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Theorem 12.1, page 120, ISBN 0-387-90636-3, MR 718119, doi:10.1007/978-1-4612-5680-9
„Archived copy” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 14. 5. 2014. g. Pristupljeno 20. 6. 2013. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
Keady, G.; Scales, P.; Németh, S. Z. (2004). „Watt Linkages and Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 88 (513): 475—492. S2CID 125102050. doi:10.1017/S0025557200176107.
Jobbings, A. K. (1997). „Quadric Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 81 (491): 220—224. JSTOR 3619199. doi:10.2307/3619199.
Beauregard, R. A. (2009). „Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides”. College Mathematics Journal. 40 (1): 17—21. S2CID 122206817. doi:10.1080/07468342.2009.11922331.
Hartshorne, R. (2005). Geometry: Euclid and Beyond. Springer. str. 429—430. ISBN 978-1-4419-3145-0.
Josefsson, Martin (2013), „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF), Forum Geometricorum, 13: 17—21
Josefsson, Martin (2011), „The Area of a Bicentric Quadrilateral” (PDF), Forum Geometricorum, 11: 155—164
Leonard Mihai Giugiuc; Dao Thanh Oai; Kadir Altintas (2018). „An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral” (PDF). International Journal of Geometry. 7: 81—86.

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

Trapezium at Encyclopedia of Mathematics.
Weisstein, Eric W. „Right trapezoid”. MathWorld.
Trapezoid definition Area of a trapezoid Median of a trapezoid With interactive animations
Trapezoid (North America) at elsy.at: Animated course (construction, circumference, area)
Trapezoidal Rule on Numerical Methods for Stem Undergraduate
Autar Kaw and E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications, (2008)

[1] „Trapezoid — Math Word Definition”. Math Open Reference. Pristupljeno 9. 9. 2018.

[2] A. D. Gardiner & C. J. Bradley, Plane Euclidean Geometry: Theory and Problems, UKMT, 2005, p. 34.

[3] „Types of quadrilaterals”. Basic-mathematics.com. Pristupljeno 2018-09-09.

[oed-4] v James A. H. Murray (1926). A New English Dictionary on Historical Principles: Founded Mainly on the Materials Collected by the Philological Society. X. Clarendon Press at Oxford. str. 286 (Trapezium). „With Euclid (c 300 B.C.) τραπέζιον included all quadrilateral figures except the square, rectangle, rhombus, and rhomboid; into the varieties of trapezia he did not enter. But Proclus, who wrote Commentaries on the First Book of Euclid's Elements A.D. 450, retained the name τραπέζιον only for quadrilaterals having two sides parallel, subdividing these into the τραπέζιον ἰσοσκελὲς, isosceles trapezium, having the two non-parallel sides (and the angles at their bases) equal, and σκαληνὸν τραπέζιον, scalene trapezium, in which these sides and angles are unequal. For quadrilaterals having no sides parallel, Proclus introduced the name τραπέζοειδὲς TRAPEZOID. This nomenclature is retained in all the continental languages, and was universal in England till late in the 18th century, when the application of the terms was transposed, so that the figure which Proclus and modern geometers of other nations call specifically a trapezium (F. trapèze, Ger. trapez, Du. trapezium, It. trapezio) became with most English writers a trapezoid, and the trapezoid of Proclus and other nations a trapezium. This changed sense of trapezoid is given in Hutton's Mathematical Dictionary, 1795, as ‘sometimes’ used -- he does not say by whom; but he himself unfortunately adopted and used it, and his Dictionary was doubtless the chief agent in its diffusion. Some geometers however continued to use the terms in their original senses, and since c 1875 this is the prevalent use.”

[5] Euclid Elements Book I Definition 22

[6] πέζα is said to be the Doric and Arcadic form of πούς "foot", but recorded only in the sense "instep [of a human foot]", whence the meaning "edge, border". τράπεζα "table" is Homeric. Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, A Greek-English Lexicon, Oxford, Clarendon Press (1940), s.v. πέζα, τράπεζα.

[ConwayBurgiel2016-7] Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (5. 4. 2016). The Symmetries of Things. CRC Press. str. 286. ISBN 978-1-4398-6489-0. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[8] For example: French trapèze, Italian trapezio, Portuguese trapézio, Spanish trapecio, German Trapez, Ukrainian "trapecія", e.g. „Larousse definition for trapézoïde”.

[9] Chambers 21st Century Dictionary Trapezoid

[10] „1913 American definition of trapezium”. Merriam-Webster Online Dictionary. Pristupljeno 2007-12-10.

[11] „American School definition from "math.com"”. Pristupljeno 2008-04-14.

[Mathworld-12] Weisstein, Eric W. „Trapezoid”. MathWorld.

[13] Trapezoids, [1]. Retrieved 2012-02-24.

[14] Ask Dr. Math (2008), "Area of Trapezoid Given Only the Side Lengths".

[Josefsson-15] v ^g ^d ^đ ^e ^ž ^z ⁱ ^j ^k Martin Josefsson, "Characterizations of trapezoids", Forum Geometricorum, 13 (2013) 23-35.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]