Хиперболична тригонометрија

Хиперболична тригонометрија има своју улогу у геометрији Лобачевског. Користи се за проучавање отпорности материјала, у електротехници, статичким прорачунима висећих мостова у грађевинарству и другим гранама науке. У математици се хиперболичне функције користе, на пример, за решавање интеграла где се појављује $1+x^{2},$ за разлику од облика $1-x^{2},$ где се користи обична, тј. равнинска тригонометрија.

Дефиниција

Хиперболични троугао се састоји од три неколинеарне тачке и три сегмента међу њима.

Хиперболичне функције

Хиперболичне функције је увео у употребу италијански математичар Винченцо Рикати. Он је користио ознаке Sh. и Ch. за хиперболни синус и косинус. Теорију је даље развио Ламберт (Histoire de l'académie Royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, том. XXIV. стр. 327 (1768)), негде око 1771, употребљавајући sinh и cosh. Код нас се за хиперболне функције користе ознаке sh x, ch x, th x, cth x, sech x, cosech x, али овде следимо скраћенице које подржава Википедијин софтвер, тј. Латех, а то су уобичајене англосаксонске ознаке.

Дефиниција хиперболичних функција

Синус хиперболични, косинус хиперболични и тангенс хиперболични одређени су формулама:

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}},$

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}},$

$\tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}.$

• 
  Сл.1. Граф синуса хиперболичног (плаве боје, доњи), и косинус (црвен, изнад)
• 
  Сл.2. Граф тангенса хиперболичног (плав)
• 
  Сл.3. Граф котангенса хиперболичног (црвен)

Котангенс хиперболични, секанс хиперболични и косеканс хиперболични су реципрочне вредности:

$\coth x={\frac {1}{\tanh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}},$

$sechx={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}},$

$cschx={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}.$

• 
  Сл.4. Граф секанса хиперболичног (црвен)
• 
  Сл.5. Граф косеканса хиперболичног (плав)

Геометријско одређивање хиперболичних функција аналогно је одређивању тригонометријских функција синус, косинус, тангенс (в. равнинска тригонометрија).

Геометријско одређивање

У тригонометријском кругу дефинисане су функције $\sin x,\;\cos x,\;\tan x$ као одсечци BC, OB, AD (полупречник r=1), а угао α је централни угао AOC. Исти угао смо могли дефинисати и као површину P_k двоструког кружног исечка COK (сл.6. шрафирано).

• 
  Сл.6. Тригонометријска кружница
• 
  Сл.7. Тригонометријска хипербола

Наиме, када је угао AOC, тј. α у радијанима, тада двоструки централни исечак COK има површину $P_{k}={\frac {1}{2}}r^{2}\cdot 2\alpha =\alpha .$ Узимајући аналогну функцију површине, али не за кружницу $x^{2}+y^{2}=1,$ него за истострану хиперболу $x^{2}-y^{2}=1,$ и означавајући са $P_{h}=x$ површину аналогног сектора COK (шрафирано на сл.7.), дефинишемо хиперболне функције: sh x = BC, ch x = OB, th x = AB, односно истим редом sinh x, cosh x, tanh x, тј. синус, косинус и тангенс хиперболни.

Када се израчуна површина х (в. одређени интеграл) добијају се изрази за BC, OB, AD:

$x=\ln(BC+{\sqrt {BC^{2}+1}})=\ln(OB+{\sqrt {OB^{2}-1}})={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+AD}{1-AD}},$

дакле за хиперболне функције добијамо претходно наведене изразе у експоненцијалном облику:

$BC={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=\sinh x,$

$OB={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cosh x,$

$AD={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=\tanh x.$

Тригонометријске везе

$\sin z=-i\sinh z,\quad \sinh z=-i\sin iz,$

$\cos z=i\cosh z,\quad \cosh z=i\cos iz,$

$\tan z=-i\tanh z,\quad \tanh z=-i\tan iz,$

$\cot z=i\sinh z,\quad \coth z=i\cot iz.$

Свака формула која повезује хиперболичне функције аргумента х или ах, али не ax+b, може се добити из одговарајуће формуле која повезује обичне тригонометријске функције угла z заменом $\sin z\,$ са $i\sinh x\,$ и заменом $\cos z\,$ са $\cosh x.\,$ На пример:

$\cos ^{2}z+\sin ^{2}z=1\,$ прелази у $\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,\,$

$\sin 2z=2\sin y\cos z,\,$ прелази у $\sinh 2x=2\sinh x\cosh x.\,$

Основне формуле

За хиперболне функције вреде формуле аналогне формулама за функције обичне тригонометрије.

Функције једног аргумента

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,\quad sech^{2}x+\tanh ^{2}x=1,$

$\coth ^{2}x-csch^{2}x=1,\quad \tanh x\cdot \coth x=1,$

${\frac {\sinh x}{\cosh x}}=\tanh x,\quad {\frac {\cosh x}{\sinh x}}=\coth x.$

Међусобно изражавање

$\sinh x={\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}={\frac {\tanh x}{\sqrt {1-\tan ^{2}x}}}={\frac {1}{\sqrt {\coth ^{2}x-1}}},$

$\cosh x={\sqrt {\sinh ^{2}x+1}}={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x}}}={\frac {\coth x}{\sqrt {\cot ^{2}x-1}}},$

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\sqrt {\sinh ^{2}x+1}}}={\frac {\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}{\cosh x}}={\frac {1}{\coth x}},$

$\coth x={\frac {\sqrt {\sinh ^{2}x+1}}{\sinh x}}={\frac {\cosh x}{\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}}={\frac {1}{\tanh x}}.$

Збир и разлика аргумената

$\sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y,$

$\cosh(x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y,$

$\tanh(x\pm y)={\frac {\tanh x\pm \tanh y}{1\pm \tanh x\tanh y}},\quad \coth(x\pm y)={\frac {1\pm \coth x\coth y}{\coth x\pm \coth y}}.$

Функције двоструког аргумента

$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x,\quad \cosh 2x=\sinh ^{2}x+\cosh ^{2}x,$

$\tanh 2x={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}},\quad \coth 2x={\frac {1+\coth ^{2}x}{2\coth x}}.$

Моаврова хиперболична формула

$(\cosh x\pm \sinh x)^{n}=\cosh nx\pm \sinh nx$

Функције половине аргумента

$\sinh {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}},$ + за x>0, - за x<0,

$\cosh {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}},$

$\tanh {\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}},\quad \coth {\frac {x}{2}}={\frac {\sinh x}{\cosh x-1}}={\frac {\cosh x+1}{\sinh x}}.$

Збир и разлика функција

$\sinh x\pm \sinh y=2\sinh {\frac {x\pm y}{2}}\cosh {\frac {x\mp y}{2}},$

$\cosh x+\cosh y=2\cosh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}},$

$\cosh x-\cosh y=2\sinh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}},$

$\tanh x\pm \tanh y={\frac {\sinh(x\pm y)}{\cosh x\cosh y}}.$

Инверзне (Ареа) функције

Називи ареа-синус, ареа-косинус, ареа-тангенс и ареа-котангенс потичу од речи ареа (површина) јер ареа-функције можемо представити површином хиперболичног сектора. Оне су инверзне функцијама синус хиперболни, косинус хиперболни, тангенс хиперболни и котангенс хиперболни, тј. ако је $y=\sinh x\,$ тада је $x=Ar\sinh y,\,$ итд:

$y=Ar\sinh x\,$ ареа-синус, ако је $x=\sinh y,\,$

$y=Ar\cosh x\,$ ареа-косинус, ако је $x=\cosh y,\,$

$y=Ar\tanh x\,$ ареа-тангенс, ако је $x=\tanh y,\,$

$y=Ar\coth x\,$ ареа-котангенс, ако је $x=\coth y.\,$

Изражавање логаритмима

$Ar\sinh x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}),$

$Ar\cosh x=\pm \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\;x\geq 1,$

$Ar\tanh x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}},\;|x|<1,$

$Ar\coth x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}},\;|x|>1.$

Међусобно изражавање инверзних

$Ar\sinh x=\pm ^{*}Ar\cosh {\sqrt {x^{2}+1}}=Ar\tanh {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}=Ar\coth {\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}},$

$Ar\cosh x=\pm Ar\sinh {\sqrt {x^{2}-1}}=\pm Ar\tanh {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}=\pm Ar\cosh {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}},$

$Ar\tanh x=Ar\sinh {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pm ^{*}Ar\cosh {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=Ar\coth {\frac {1}{x}},$

$Ar\coth x=Ar\sinh {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\pm ^{*}Ar\cosh {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=Ar\tanh {\frac {1}{x}}.$

Уз индекс * иде предзнак + за х позитивно, - за х негативно.

Односи међу инверзним

$Ar\sinh x\pm Ar\sinh y=Ar\sinh(x{\sqrt {1+y^{2}}}\pm y{\sqrt {1+x^{2}}}),$

$Ar\cosh x\pm Ar\cosh y=Ar\cosh(xy\pm {\sqrt {(x^{2}-1)(y^{2}-1)}}),$

$Ar\tanh x\pm Ar\tanh y=Ar\tanh {\frac {x\pm y}{1\pm xy}}.$

Види још

• Геометрија
• Тригонометрија
• Хиперболичне функције
• Инверзне хиперболичне функције

Литература

• Svetlana Katok Fuchsian Groups, University of Chicago Press. 1992. ISBN 978-0-226-42583-2.